Materiał przedstawiony w książce Gilberta i Nicholsona może być podstawą wykładu z algebry abstrakcyjnej i jej zastosowań. Przedstawiono zagadnienia dotyczące algebry Boole’a, maszyn skończonych, kwadratów łacińskich oraz wiele pojęć algebry abstrakcyjnej o fundamentalnym znaczeniu, jak: grupy, permutacje, grupy symetrii, pierścienie wielomianów, ciała Galois, metody zliczania, konstrukcje geometryczne; omówiono także kody korekcyjne BCH.
Zaletą tego podręcznika jest odpowiedni dobór przykładów i ich urozmaicenie, a także ponad 600 zadań (o zróżnicowanym stopniu trudności) do samodzielnego rozwiązania.
Książka "Algebra współczesna z zastosowaniami" jest przeznaczona dla studentów informatyki i matematyki studiów uniwersyteckich i politechnicznych.
Rozdziały:
1. Wprowadzenie
Algebra klasyczna
Algebra współczesna
Operacje binarne
Struktury algebraiczne
Rozszerzanie struktur liczbowych
2. Algebry Boole’a
Algebra zbiorów
Liczba elementów zbioru
Algebry Boole’a
Logika zdaniowa
Obwody przełącznikowe
Dzielniki
Zbiory uporządkowane i kraty
Postać normalna i upraszczanie obwodów
Bramki tranzystorowe
Twierdzenie o reprezentacji
Ćwiczenia
3. Grupy
Grupy i symetrie
Podgrupy
Grupy cykliczne i dihedralne
Morfizmy
Grupy permutacji
Permutacje parzyste i nieparzyste
Twierdzenie Cayleya o reprezentacji
Ćwiczenia
4. Grupy ilorazowe
Relacje równoważności
Warstwy i twierdzenie Lagrange’a
Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
Twierdzenie o morfizmie
Iloczyny proste
Grupy niskiego rzędu
Działanie grupy na zbiorze
Ćwiczenia
5. Grupy symetrii w trzech wymiarach
Przesunięcia i grupa euklidesowa
Grupy macierzy
Grupy skończone w dwóch wymiarach
Obroty właściwe brył foremnych
Skończone grupy obrotów w trzech wymiarach
Grupy krystalograficzne
Ćwiczenia
6. Metoda Polyi-Burnside’a zliczania orbit
Twierdzenie Burnside’a
Problem naszyjnika
Kolorowanie wielościanów
Zliczanie obwodów
Ćwiczenia
7. Monoidy i automaty
Monoidy i półgrupy
Automaty skończone
Monoidy ilorazowe i monoid automatu
Ćwiczenia
8. Pierścienie i ciała
Pierścienie
Dziedziny całkowitości i ciała
Podpierścienie i morfizmy pierścieni
Konstrukcja pierścieni
Ciała ułamków
Ciało ułamków pierścienia Mikusińskiego
Ćwiczenia
9. Pierścienie wielomianów i pierścienie euklidesowe
Pierścienie euklidesowe
Algorytm Euklidesa
Jednoznaczność rozkładu
Rozkład wielomianów o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych
Rozkład wielomianów o współczynnikach wymiernych lub całkowitych
Rozkład wielomianów nad ciałem skończonym
Kongruencje liniowe i chińskie twierdzenie o resztach
Ćwiczenia
10. Pierścienie ilorazowe
Ideały i pierścienie ilorazowe
Obliczenia w pierścieniach ilorazowych
Twierdzenie o morfizmie
Ilorazowe pierścienie wielomianów, będące ciałami
Ćwiczenia
11. Rozszerzenia ciał
Rozszerzenia ciał
Liczby algebraiczne
Ciała Galois
Elementy pierwotne
Ćwiczenia
12. Kwadraty łacińskie
Kwadraty łacińskie
Ortogonalne kwadraty łacińskie
Geometrie skończone
Kwadraty magiczne
Ćwiczenia
13. Konstrukcje geometryczne
Liczby konstruowalne
Podwojenie sześcianu
Trysekcja kąta
Kwadratura koła
Konstrukcje wielokątów foremnych
Niekonstruowalna liczba stopnia 4
Ćwiczenia
14. Kody samokorekcyjne
Problem kodowania
Proste kody
Reprezentacja wielomianowa
Reprezentacja macierzowa
Korekcja błędów i dekodowanie
Kody BCH
Ćwiczenia
Dodatek 1. Dowody
Dodatek 2. Liczby całkowite
Bibliografia
Odpowiedzi do ćwiczeń o nieparzystych numerach
|
