Poprawione wydanie bardzo dobrego podręcznika akademickiego wielowymiarowej analizy matematycznej, przeznaczonego dla studentów uniwersyteckich i politechnicznych studiów matematycznych o różnym poziomie zaawansowania.
Przedstawiony w nim wykład obejmuje rachunek różniczkowy, elementy teorii miary i całki Lebesgue'a, teorię całki na rozmaitościach, elementy funkcji analitycznych oraz wprowadzenie do analizy funkcjonalnej.
Świetnym uzupełnieniem zagadnień teoretycznych i pomocą w utrwaleniu zdobytej wiedzy są zadania zamieszczone na końcu niemal każdego paragrafu.
Rozdziały:
Rozdział 1. Rachunek różniczkowy A. Rachunek różniczkowy pierwszego rzędu 1.Pochodna kierunkowa i pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistych 2.Ekstrema funkcji 3.Różniczka i różniczkowalność funkcji rzeczywistych 4.Reguły różniczkowania i twierdzenie o wartości średniej 5.Twierdzenie o całce z parametrem 6.Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe oraz różniczka odwzorowania 7.Reguły różniczkowania. Oszacowanie przyrostu odwzorowania 8.Odwracanie odwzorowań. Dyfeomorfizm. 9.Pojęcie płata i rozmaitości. Przestrzeń styczna do rozmaitości 10.Twierdzenie o funkcjach uwikłanych 11.Rozmaitości o równaniu F(x) = 0 i ekstrema funkcji na takich rozmaitościach (twierdzenie Lagrange’a) B. Rachunek różniczkowy wyższego rzędu 12. Rachunek różniczkowy wyższego rzędu 13. Rachunek różniczkowy n-tego rzędu. Wzór Taylora 14. Uwagi końcowe
Rozdział 2. Całka krzywoliniowa 1.Formy różniczkowe pierwszego stopnia. Całka krzywoliniowa i jej ogólne własności 2.Warunki równoważne zupełności 1-formy oraz pojęcie 1-formy zamkniętej 3.Homotopia krzywych i zbiory jednospójne. Twierdzenie o równości całki z 1-formy zamkniętej wzdłuż krzywych homotopijnych
Rozdział 3. Elementy funkcji analitycznych 1.Pochodna funkcji C-różniczkowalne, warunki Cauchy-Riemanna, funkcje holomorficzne 2.Szeregi o wyrazach zespolonych 3.Szeregi funkcji zespolonych. Szeregi potęgowe. Niektóre funkcje elementarne zmiennej zespolonej 4.Całka krzywoliniowa z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej 5.Warunki równoważne istnienia funkcji pierwotnej. Twierdzenia Cauchy’ego. Indeks konturu względem punktu 6.Szeregi Laurenta, twierdzenie Laurenta i wnioski z niego 7.Zera funkcji holomorficznej. Punkty osobliwe odosobnione. Residua 8.Twierdzenie o residuach. Wzór całkowy Cauchy’ego. Ciągi i szeregi funkcji holomorficznych 9.Twierdzenie „o krotnościach” i odwracanie funkcji holomorficznych. Funkcje meromorficzne. Twierdzenie „o zmienności obszaru”. Zasada maksimum 10.Odwzorowania konforemne
Rozdział 4. Miara i całka Lebesgue’a A. Elementy ogólnej teorii miary 1.d-ciała zbiorów 2.Funkcje mierzalne 3.Miara i jej podstawowe własności 4.Miara zewnętrzna i twierdzenie Caratheodory’ego B. Miara Lebesgue’a w Rk 5.Objętość przedziału. Uwagi o problemie miary. Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Zbiory mary zero 6.Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a i miara Lebesgue’a 7.Charakteryzacja zbiorów mierzalnych. Mierzlaność pewnych zbiorów. Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a C. Elementy ogólnej teorii całki 8.Całka z funkcji nieujemnej 9.Całka z funkcji rzeczywistej dowolnego znaku i z funkcji zespolonej. Funkcje całkowalne 10.Przejście do granicy pod znakiem całki 11.Produkowanie miar i ogólne twierdzenie Fubiniego D. Całka Lebesgue’a w Rk 12.Wstępne uwagi 13.Całka z funkcji jednej zmiennej 14.Twierdzenie Fubiniego – przypadek dwuwymiarowy 15.Twierdzenie Fubiniego – przypadek wielowymiarowy 16.Całkowanie przez podstawienie
Rozdział 5. Całka na rozmaitości A. Miara Lebesgue’a na rozmaitości i całka względem tej miary 1.Wiadomości pomocnicze 2.Miara Lebesgue’a na rozmaitości oraz całka względem tej miary B. Całkowanie form różniczkowych 3.Orientacja rozmaitości 4.Formy różniczkowe 5.Całka z formy różniczkowej na rozmaitości 6.Różniczka zewnętrzna formy różniczkowej 7.Rozmaitości 0-wymiarowe. Podzbiory regularne rozmaitości. Zbiory miary Hausdorffa zero 8.Ogólne twierdzenie Stokesa i jego szczególne przypadki – twierdzenie Greena, Stokesa, Gaussa-Ostrogradskiego 9.Dowód ogólnego twierdzenia Stokesa 10.Uwagi końcowe
Rozdział 6. Wstępne wiadomości z analizy funkcjonalnej 1.Wiadomości algebraiczne 2.Przestrzenie normowane. Banacha i ich przykłady 3.Operatory liniowe ciągłe w przestrzeniach normowanych 4.Przestrzenie unitarne i Hilberta 5.Przestrzenie unitarne i Hilberta (ciąg dalszy): twierdzenie „o rzucie prostopadłym” i jego konsekwencje
Dodatek 1. Rozkład jedynki Dodatek 2. Twierdzenia o przybliżaniu funkcji Dodatek 3. Szeregi Fouriera Dodatek 4. Transformacja Fouriera Dodatek 5. Zastosowanie twierdzenia Greena w funkcjach analitycznych Dodatek 6. Twierdzenie Arzeli Dodatek 7. Funkcyjna zależność układu funkcji
|