Książka pokazuje, jak radzić sobie z powstającymi w rozlicznych dziedzinach fizyki i techniki zagadnieniami opisywanymi funkcjami wielu zmiennych i ich pochodnymi. Zagadnienia tego typu są wyjątkowo mało podatne na algorytmizację.

Książka podaje ich aktualną klasyfikację i dotyczące ich najnowsze twierdzenia, a także wprowadza w krąg specyficznych dla nich nowoczesnych technik. Mimo zaawansowania merytorycznego książka jest wyjątkowo przystępna.

Adresatami tej książki są studenci matematyki i fizyki a także innych kierunków nauk przyrodniczych i technicznych na wyższych uczelniach wszelkich typów.

Rozdziały:

1. Wprowadzenie
1.1. Garsc przykładów

2. Równanie falowe
2.1. Równanie struny i wzór d’Alemberta
2.2. Wzór Kirchhoffa. Zasada Huygensa
2.2.1. Struna półnieskonczona
2.2.2. Srednie sferyczne i wyprowadzenie wzoru Kirchhoffa
2.3. Wzór Poissona. Czego nie moga płaszczaki?
2.4. Niejednorodne równanie falowe: całki Duhamela

3. Równanie przewodnictwa cieplnego
3.1. Istnienie rozwiazan
3.2. Zasada maksimum
3.3. Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego
3.4. Dygresja probabilistyczna

4. Funkcje harmoniczne i równanie Laplace’a
4.1. Własnosc wartosci sredniej i zasada maksimum
4.2. Nierównosc Harnacka
4.3. Formuła reprezentacyjna Greena
4.4. Zagadnienie Dirichleta w kuli: całka Poissona
4.4.1. Oszacowania pochodnych i ciagi funkcji harmonicznych
4.5. Metoda Perrona
4.6. Bariery

5. Klasyfikacja równan rzedu drugiego

6. Przestrzenie Sobolewa
6.1. Motywacje
6.2. Definicje, niektóre własnosci
6.2.1. Zupełnosc
6.2.2. Gestosc funkcji gładkich
6.3. Nierównosc Poincarégo i twierdzenie Sobolewa
6.4. Twierdzenie Rellicha–Kondraszowa

7. Słabe rozwiazania
7.1. Metoda wariacyjna Ritza
7.2. Zastosowania metody Ritza
7.3. Inne metody konstrukcji słabych rozwiazan
7.3.1. Lemat Laxa i Milgrama
7.3.2. Przykład zastosowania lematu Laxa i Milgrama
7.3.3. Wzmianka o metodzie Galerkina
7.4. Z powrotem do zwyczajnosci: lemat Weyla

8. Wartosci własne laplasjanu
8.1. Dygresja: operatory zwarte
8.2. Wartosci własne laplasjanu
8.3. Wzmianka o twierdzeniu Weyla. Czy mozna usłyszec kształt bebenka?

9. Informacja o twierdzeniu Kowalewskiej
9.1. Przykład Mizohaty
9.2. Twierdzenie Kowalewskiej

Dodatki:

A. Oznaczenia i uzupełnienia
A.1. Przestrzenie Banacha
A.2. Przestrzenie funkcji całkowalnych
B. Szeregi Fouriera dla leniwych
B.1. Model przepływu ciepła w jednorodnym precie
B.2. Model drgajacej struny
B.2.1. Wzory na współczynniki
B.3. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych
B.4. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych z kwadratem
B.5. Kryteria zbieznosci
C. Zadania
C.1. Rozwiazania klasyczne równan liniowych
C.2. Przestrzenie Sobolewa i słabe rozwiazania