Wyjątkowy podręcznik analizy matematycznej!
Książka zawiera zwięzły wykład podstawowych pojęć i twierdzeń analizy matematycznej wzbogacony różnymi informacjami z innych działów matematyki, niezbędnymi przy korzystaniu z podręcznika. Każdy rozdział podręcznika kończy zestaw zadań do samodzielnego rozwiązania.
Podręcznik jest przyjazny dla czytelnika dzięki temu, że autor:
• w logiczny sposób ułożył wykładany materiał
• jasno przedstawił myśli dowodów twierdzeń
• konsekwentnie stosował symbolikę wektorową.
Książka przeznaczona dla studentów matematyki i innych kierunków nauk ścisłych na uniwersytetach oraz akademiach pedagogicznych.
Rozdziały:
Rozdział 1. Systemy liczb rzeczywistych i zespolonych
Wstęp
Zbiory uporządkowane
Ciała
Ciało liczb rzeczywistych
Rozszerzony system liczb rzeczywistych
Ciało liczb zespolonych
Przestrzenie euklidesowe
Dodatek
Zadania
Rozdział 2. Podstawy topologii
Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne
Przestrzenie metryczne
Zbiory zwarte
Zbiory doskonałe
Zbiory spójne
Zadania
Rozdział 3. Ciągi i szeregi liczbowe
Ciągi zbieżne
Podciągi
Ciągi Cauchy’ego
Granice górna i dolna
Pewne ciągi specjalne
Szeregi
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Liczba e
Inne kryteria zbieżności
Szeregi potęgowe
Sumowanie częściowe
Zbieżność bezwzględna
Dodawanie i mnożenie szeregów
Zmiana kolejności sumowania
Zadania
Rozdział 4. Ciągłość
Granice funkcji
Funkcje ciągłe
Ciągłość i zwartość
Ciągłość i spójność
Nieciągłość
Funkcje monotoniczne
Granice nieskończoności i granice w nieskończoności
Zadania
Rozdział 5. Różniczkowanie
Pochodna funkcji rzeczywistej
Twierdzenie o wartości średniej
Ciągłość pochodnych
Reguła L’Hospitala
Pochodne wyższych rzędów
Twierdzenie Taylora
Różniczkowanie funkcji o wartościach wektorowych
Zadania
Rozdział 6. Całka Riemanna-Stieltjesa
Definicja i istnienie całki
Własności całki
Całkowanie i różniczkowanie
Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych
Krzywe prostowalne
Zadania
Rozdział 7. Ciągi i szeregi funkcyjne
Pojęcia wstępne
Zbieżność jednostajna
Zbieżność jednostajna i ciągłość
Zbieżność jednostajna a całkowanie
Zbieżność jednostajna a różniczkowanie
Rodziny funkcji jednakowo ciągłych
Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
Zadania
Rozdział 8. Pewne funkcje specjalne
Szeregi potęgowe
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Funkcje trygonometryczne
Zupełność algebraiczna ciała liczb zespolonych
Szeregi Fourier’a
Funkcja gamma
Zadania
Rozdział 9. Funkcje wielu zmiennych
Przekształcenia liniowe
Różniczkowanie
Zasada odwzorowań zwężających
Twierdzenie o funkcji odwrotnej
Twierdzenie o funkcji uwikłanej
Twierdzenie o rzędzie
Wyznaczniki
Pochodne wyższych rzędów
Różniczkowanie całek
Zadania
Rozdział 10. Całkowanie form zewnętrznych
Całkowanie
Odwzorowanie proste
Rozkłady jedynki
Zamiana zmiennych
Formy różniczkowe
Sympleksy i łańcuchy
Twierdzenie Stokesa
Formy zamknięte i formy dokładne
Analiza wektorowa
Zadania
Rozdział 11. Teoria Lebesgue’a
Funkcje zbiorów
Konstrukcja miary Lebesgue’a
Przestrzenie z miarą
Funkcje mierzalne
Funkcje proste
Całkowanie
Porównanie z całką Riemanna
Całkowanie funkcji zespolonych
Funkcje klasy
Zadania
Bibliografia
Skorowidz oznaczeń
Skorowidz nazw
|
