Czytelnicy poprzednich wydań znajdą tu m.in. uzupełnienia na temat wymiernych trójkątnych płatów Béziera na sferze, wstawiania węzłów za pomocą algorytmu Lane’a–Riesenfelda i obliczania długości krzywych B-sklejanych oraz dokładniejszą analizę własności aproksymacyjnych kubicznych funkcji sklejanych.

Klasyczna teoria krzywych i powierzchni Béziera i B-sklejanych, a także opisy stosowanych w grafice komputerowej i w projektowaniu wspomaganym komputerem algorytmów ich przetwarzania zostały uzupełnione wiadomościami na temat powierzchni reprezentowanych przez siatki nieregularne. Znacznie rozbudowane rozdziały na temat ciągłości geometrycznej krzywych i powierzchni zawierają szczegółowy opis krzywych B-sklejanych, własności powierzchni granicznych otrzymanych przez zagęszczanie siatek, nową metodę gładkiego łączenia obciętych powierzchni B-sklejanych i doskonalszą konstrukcję powierzchni wypełniających wielokątne otwory, umożliwiającą przeprowadzanie optymalizacji kształtu takich powierzchni. Wzory i rozważania teoretyczne zostały w tej książce znakomicie zilustrowane na ponad 300 rysunkach.

Rozdziały:

0. Wiadomości wstępne
0.1. Reprezentacje figur geometrycznych
0.2. Reprezentacje krzywych i powierzchni parametrycznych
0.3. Zadanie interpolacyjne Lagrange'a
0.3.1. Algorytm Aitkena
0.3.2. Własności wielomianowych krzywych interpolacyjnych
0.4. Obcinanie narożników

1. Krzywe Béziera
1.1. Algorytm de Casteljau
1.2. Wielomiany Bernsteina
1.3. Własności wielomianów Bernsteina
1.4. Podwyższenie stopnia
1.5. Blossoming
1.5.1. Formy biegunowe i diagonalne
1.5.2. Algorytm de Casteljau i podział krzywej
1.5.3. Formy biegunowe i podwyższenie stopnia
1.6. Pochodna krzywej Béziera
1.7. Pochodne wyższego rzędu
1.8. Łączenie krzywych Béziera
1.9. Uzupełnienia
1.9.1. Schemat Homera w bazie wielomianów Bernsteina
1.9.2. Obniżenie stopnia krzywej
1.9.3. Formy biegunowe i pochodne
1.9.4. Krzywizna i skręcenie krzywej Béziera
1.9.5. Twierdzenie Menelaosa
1.9.6. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa

2. Wymierne krzywe Béziera
2.1. Krzywe jednorodne i wymierne
2.2. Jednorodne i wymierne krzywe Béziera
2.3. Kształtowanie wymiernych krzywych Béziera
2.4. Własności wymiernych krzywych Béziera
2.5. Podwyższenie i obniżenie stopnia
2.6. Reparametryzacja krzywej wymiernej
2.7. Pochodne krzywych wymiernych
2.8. Łączenie wymiernych krzywych Béziera
2.9. Uzupełnienia
2.9.1. Dwustosunek i zasadnicze twierdzenie geometrii rzutowej
2.9.2. Reprezentacja krzywej wymiernej przy użyciu punktów pomocniczych
2.9.3. Reprezentacja krzywych stożkowych
2.9.4. Obcinanie krzywych
2.9.5. Rzutowanie krzywych
2.9.6. Procedura rysowania krzywych
2.9.7. Formy biegunowe krzywych wymiernych
2.9.8. Krzywizna i skręcenie wymiernej krzywej Béziera

3. Trójkątne płaty Béziera
3.1. Określenie płata trójkątnego
3.2. Algorytm de Casteljau dla płatów trójkątnych
3.3. Podział płata trójkątnego i blossoming
3.4. Podwyższenie stopnia płata
3.5. Pochodne płatów trójkątnych
3.6. Łączenie płatów trójkątnych
3.7. Wymierne trójkątne płaty Béziera
3.8. Uzupełnienia
3.8.1. Szybkie obliczanie punktów płata trójkątnego
3.8.2. Formy biegunowe i krzywizny płata

4. Tensorowe płaty Béziera
4.1. Określenie płata
4.2. Własności płatów wynikające z określenia tensorowego
4.2.1. Wyznaczanie punktów płata
4.2.2. Podwyższenie stopnia płata
4.2.3. Pochodne cząstkowe płatów Béziera
4.2.4. Podział płata Béziera
4.2.5. Zasady łączenia płatów Béziera z ciągłością Ck
4.3. Płaszczyzna styczna do płatów zdegenerowanych
4.4. Wymierne prostokątne płaty Béziera
4.4.1. Podstawowe własności płatów wymiernych
4.4.2. Obliczanie pochodnych płata wymiernego
4.4.3. Płaszczyzna styczna do płata wymiernego
4.5. Uzupełnienia
4.5.1. Przetwarzanie tablic punktów kontrolnych
4.5.2. Znajdowanie tensorowej reprezentacji płatów trójkątnych
4.5.3. Swobodna deformacja
4.5.4. Śledzenie promieni
4.5.5. Wyznaczanie punktów przecięcia krzywych
4.5.6. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych
4.5.7. Wyznaczanie przecięć powierzchni

5. Krzywe B-sklejane
5.1. Konstrukcja gładko połączonych krzywych Béziera
5.2. Zastosowanie różnic dzielonych
5.2.1. Funkcje sklejane i baza obciętych potęg
5.2.2. Określenie funkcji B-sklejanych
5.2.3. Wzór Mansfielda-de Boora-Coxa
5.2.4. Algorytm de Boora
5.2.5. Własności funkcji i krzywych B-sklejanych
5.2.6. Pochodne krzywej B-sklejanej
5.3. Wstawianie węzłów
5.3.1. Procedura wstawiania węzła
5.3.2. Związek wstawiania węzła z algorytmem de Boora
5.3.3. Zmiana bazy po wstawieniu węzła
5.3.4. Usuwanie węzła
5.3.5. Zastosowania procedury wstawiania węzła
5.4. Blossoming
5.4.1. Formy biegunowe funkcji i krzywych sklejanych
5.4.2. Ciągłość funkcji sklejanych w węzłach
5.4.3. Formy biegunowe i wstawianie węzłów
5.4.4. Algorytm Oslo
5.4.5. Zbieżność procesu wstawiania węzłów
5.4.6. Podwyższenie stopnia
5.5. Funkcje B-sklejane i sympleksy
5.5.1. Funkcje miary przekroju
5.5.2. Sympleksy i wielomiany Bernsteina
5.5.3. Wielościany, wielomiany i funkcje sklejane
5.5.4. Sympleksowa definicja funkcji B-sklejanych
5.5.5. Związek sympleksów z różnicami dzielonymi
5.5.6. Całkowanie funkcji B-sklejanych
5.5.7. Ciągłość funkcji sklejanych w węzłach
5.5.8. Rozkład jedynki
5.5.9. Własność minimalnego nośnika
5.5.10. Wstawianie węzła
5.5.11. Podwyższenie stopnia
5.5.12. Dowód wzoru Mansfielda-de Boora-Coxa
5.6. Wymierne krzywe B-sklejane (krzywe NURBS)
5.7. Uzupełnienia
5.7.1. Krzywe zamknięte
5.7.2. Krzywe B-sklejane z węzłami równoodległymi
5.7.3. Interpolacyjne krzywe B-sklejane trzeciego stopnia
5.7.4. Twierdzenie Schoenberga-Whitney
5.7.5. Aproksymacyjne krzywe B-sklejane

6. Powierzchnie B-sklejane
6.1. Określenie płata B-sklejanego
6.2. Podstawowe własności płatów B-sklejanych
6.3. Wymierne powierzchnie B-sklejane (powierzchnie NURBS)
6.4. Przykłady konstrukcji powierzchni B-sklejanych
6.4.1. Powierzchnie rozpinane
6.4.2. Powierzchnie zakreślane
6.4.3. Produkt sferyczny i powierzchnie obrotowe
6.5. Uzupełnienia
6.5.1. Powierzchnie określone przy użyciu węzłów równoodległych
6.5.2. Momenty i twierdzenia Guldina
6.5.3. Powierzchnie prostokreślne i rozwijalne

7. Krzywe i powierzchnie w reprezentacji Hermite'a
7.1. Lokalne bazy Hermite 'a
7.2. Interpolacyjne krzywe sklejane trzeciego stopnia
7.2.1. Związek reprezentacji Hermite'a i Béziera krzywych trzeciego stopnia
7.2.2. Równania ciągłości pochodnej drugiego rzędu
7.2.3. Warunki brzegowe
7.2.4. Dobór węzłów dla krzywych interpolacyjnych
7.2.5. Własność minimalnej energii
7.2.6. Błąd aproksymacji dla interpolacyjnych funkcji sklejanych
7.3. Płaty określone przez warunki interpolacyjne
7.3.1. Płaty Coonsa
7.3.2. Płaty bikubiczne w reprezentacji Hermite'a
7.3.3. Konstrukcja powierzchni złożonych z płatów bikubicznych
7.3.4. Płaty Gregory'ego
7.3.5. Płaty Browna

8. Ciągłość geometryczna krzywych
8.1. Pojęcie ciągłości geometrycznej
8.1.1. Związek ciągłości parametryzacji z ciągłością geometryczną
8.1.2. Krzywe geometrycznie sklejane
8.2. Równania ciągłości geometrycznej krzywych
8.3. Interpretacja ciągłości geometrycznej krzywych
8.4. Przykłady krzywych geometrycznie sklejanych
8.4.1. Krzywe y-sklejane
8.4.2. Krzywe β-sklejane
8.4.3. Krzywe v-sklejane
8.5. Tensorowe powierzchnie geometrycznie sklejane

9. Ciągłość geometryczna powierzchni
9.1. Równania ciągłości geometrycznej płatów
9.2. Interpretacja ciągłości geometrycznej powierzchni
9.3. Równania ciągłości dla płatów wielomianowych
9.3.1. Podstawy algebraiczne
9.3.2. Rozwiązania równań ciągłości
9.4. Konstrukcja pary gładko połączonych płatów
9.4.1. Konstrukcja pary płatów wielomianowych połączonych z ciągłością G1
9.4.2. Konstrukcja pary płatów wielomianowych połączonych z ciągłością G2
9.4.3. Konstrukcja pary gładko połączonych płatów wymiernych
9.5. Geometrycznie ciągłe powierzchnie wypełniające
9.5.1. Wypełnianie przerwy miedzy płatami B-sklejanymi
9.5.2. Powierzchnie wypełniające dla płatów obciętych
9.6. Warunki zgodności G1 we wspólnym narożniku
9.6.1. Lokalne warunki zgodności
9.6.2. Globalne warunki zgodności
9.7. Wypełnianie wielokątnych otworów
9.7.1. Sformułowanie problemu
9.7.2. Wymagane własności konstrukcji
9.7.3. Schemat algorytmu
9.7.4. Konstrukcja wypełnienia otworu
9.7.5. Przykładowe wyniki
9.8. Warunki zgodności rzędu drugiego i wyższych
9.8.1. Funkcje sklejane dwóch zmiennych
9.8.2. Trygonometryczne funkcje sklejane
9.8.3. Trygonometryczne funkcje sklejane trzeciego stopnia
9.8.4. Trygonometryczne funkcje sklejane czwartego stopnia
9.8.5. Uwagi o konstrukcji powierzchni gładkiej
9.9. Uwagi końcowe

A. Przegląd podstawowych pojęć algebry liniowej
A.1. Przestrzenie liniowe
A..1.1. Macierze
A.1.2. Układy współrzędnych
A.1.3. Przekształcenia liniowe
A.1.4. Funkcjonały i przestrzeń sprzężona
A.1.5. Normy
A.1.6. Iloczyny skalarne
A.1.7. Przekształcenia izometryczne
A.1.8. Wyznaczniki
A.1.9. Iloczyny wektorowe i zewnętrzne
A.1.10. Interpretacja geometryczna funkcjonału
A.1.11. Układy równań liniowych
A.1.12. Zagadnienia własne
A.2. Przestrzenie afiniczne
A.2.1. Współrzędne kartezjańskie i jednorodne
A.2.2. Współrzędne barycentryczne
A.2.3. Przekształcenia afiniczne
A.2.4. Przekształcenia afiniczne przestrzeni trójwymiarowej
A.2.5. Mierzenie zbiorów

B. Działania na wielomianach w bazach Bernsteina
B.l. Działania na wielomianach
B.1.1. Mnożenie i dzielenie
B.1.2. Mnożenie wielomianów wielu zmiennych
B.1.3. Dodawanie i odejmowanie
B.1.4. Algorytm Euklidesa
B.1.5. Obliczanie iloczynu skalarnego
B.2. Działania na funkcjach wektorowych
B.2.1. Mnożenie wielomianu i krzywej
B.2.2. Wyznaczanie płatów Béziera opisujących wektory normalne
B.3. Działania na funkcjach sklejanych
B.3.1. Mnożenie funkcji sklejanych
B.3.2. Obliczanie iloczynu skalarnego

C. Elementy geometrii różniczkowej
C.1. Krzywizny krzywych
C.1.1. Parametryzacja łukowa
C.1.2. Równania Freneta
C.1.3. Krzywizna krzywej płaskiej
C.1.4. Krzywizny krzywej przestrzennej
C.2. Krzywizny powierzchni
C.2.1. Różniczki płata
C.2.2. Pierwsza i druga forma podstawowa
C.2.3. Krzywizna normalna powierzchni
C.2.4. Krzywizny i kierunki główne powierzchni
C.2.5. Klasyfikacja punktów powierzchni

D. Różnice dzielone
D.1. Schemat Homera i bazy Newtona
D.2. Algorytm różnic dzielonych
D.3. Zadanie interpolacji Hermite'a
D.4. Wzór Leibniza

E. Metody numeryczne
E.1. Arytmetyka zmiennopozycyjna
E.1.2. Uwagi o błędach reprezentacji i zaokrągleń
E.2. Rozwiązywanie równań liniowych
E.2.1. Układy z macierzą trójkątną
E.2.2. Eliminacja Gaussa
E.2.3. Inne metody
E.3. Rozwiązywanie liniowych zadań najmniejszych kwadratów
E.3.1. Zadania regularne
E.3.2. Zadania dualne
E.3.3. Zadania regularne z wieżami
E.4. Rozwiązywanie równań nieliniowych
E.4.1. Metoda bisekcji
E.4.2. Metoda Newtona
E.4.3. Metoda Newtona dla układów równań
E.4.4. Metoda siecznych
E.4.5. Reguła falsi i algorytm Illinois

F. Wizualizacja kształtu powierzchni
F.1. Funkcje kształtu i ich warstwice
F.1.1. Własności warstwie
F.1.2. Przekroje powierzchni
F.1.3. Lambertowskie odbicie światła i izofoty
F.1.4. Linie odblasku
F.1.5. Krzywizny powierzchni
F.2. Krzywe charakterystyczne
F.2.1. Całkowanie krzywych charakterystycznych
F.2.2. Warstwice i linie najszybszego spadku funkcji kształtu
F.2.3. Linie krzywiznowe